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设D为x^2+y^2≤1,则∫∫D(x^3+y^3+x^2+y^2)D为多少?

D是关于x轴和y轴都是对称的 所以x^3和y^3的积分都等于0,(奇函数) ∫∫D (x^3+y^3+x^2+y^2) dxdy = ∫∫D (x^2+y^2) dxdy,运用极坐标x=rcosθ,y=rsinθ = ∫(0,2π) dθ ∫(0,1) r^3 dr = (2π)(1/4) = π/2

∫∫D sin(xy)dxdy=0

根据几何意义, 这个积分就表示区域D的面积 区域是一个圆,半径为√3 所以, ∫∫dxdy=3π

## 几何意义 极坐标系积分 这道题如果是填空题,根据质心公式心算一下立马可知结果为π: 如果是计算大题,那就参考下面方法:首先可以判断D关于y=0即x轴对称,而y是关于y的奇函数,所以∫∫ydxdy=0,接下来极坐标系积分:

积分区域为单位圆,关于x轴对称,-y关于y是奇函数,因此积分为0,只需计算x²即可 ∫∫ x² dxdy 用极坐标 =∫∫ r²cos²θr drdθ =∫[0→2π]cos²θdθ∫[0→1] r³ dr =(1/4)∫[0→2π] (1/2)(1+cos2θ) dθ =(1/8)(θ+(1/2)sin2θ) |[...

如图所示:

答案是π²a³-5/3πa³. 用微元法做,在区域D上取一个区间元素[x,x+dx],0≤x≤a,(即区域D上,上下方向的一个横坐标为x的线段。 假设它的厚度为dx,将这个小切片绕x=3a旋转一周,得到一个旋转体,展开为一个长方体)dV=2π(3a-x)*(√(-x&#...

∫∫2xdxdy=0 ∫∫1dxdy=π ∫∫x^2dxdy=∫∫y^2dxdy=(1/2)∫∫(x^2+y^2)dxdy【因为积分区域D关于x、y轮换对称,利用积分值与积分变量符号名称无关】 ∫∫(x^2+2y^2)dxdy=(3/2)∫∫(x^2+y^2)dxdy。

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