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求函数y=sin²x的n阶导数.

若n除以4余1,sin2x的n阶导数为2^n·cos2x若n除以4余2,sin2x的n阶导数为-2^n·sin2x若n除以4余3,sin2x的n阶导数为-2^n·cos2x若n能被4整除,sin2x的n阶导数为2^n·sin2x综合起来,sin2x的n阶导数为:2^nsin(2x+nπ/2)

y'=2sinxcosx=sin2x y(n)=y'(n-1) =2^(n-1)·sin[2x+(n-1)π/2]

对于函数乘积y=f(x)*g(x)的n阶导数有展开公式: y(n)=c(n,0)f(x)g(x)(n)+c(n,1)f(x)(1)g(x)(n-1)+c(n,2)f(x)(2)g(x)(n-2)+.c(n,n)f(x)(n)g(x). 其中: y(n)表示y的n阶导数,c(n,0)是排列组合,f(x)(n)表示f(x)的n阶导数,g(x)(n)表示g(x)的n阶导数. ...

y=sin²x=(1/2)(1-cos2x)y'=(1/2)*2sin(2x)=sin(2x)y''=2cos(2x)=2sin(2x+π/2)y'''=-4sin(2x)=4sin(2x+π)y^(4)=-8cos(2x)=8sin(2x+3π/2)y^(5)=16sin(2x)=16sin(2x+2π).y^(n)=[2^(n-1)]sin(2x+(n-1)π/2)

y=(1-x)/(1+x) =[-(x+1)+2]/(x+1) =-1+2/(x+1) y'=-2/(x+1)^2 y''=2*2/(x+1)^3 y'''=2*2*(-1)*3/(x+1)^4. 所以: y(n)=(-1)^n*2*n!/(x+1)^(n+1).

用泰勒公式啊f(x)n阶导=f(x)+f'(x)·x+f"(x)/2*x^2....+O(x^n)参看sinx的泰勒展开式,分式太多,爪机不好打

如图

y'=lna·a^x y''=ln²a·a^x ... yⁿ'=lnⁿa·a^x

y=x^2sin2x

a^x求导 a^xlna 在求导 a^x(lna)² 所以 n阶导数为 a^x(lna)^n

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